Для этого надо воспользоваться функцией inject (замена потока)
docs.flashphoner.com
1. Отправляем стрим с экрана как отдельный стрим, например "main".
2. Отправляем стрим шаринга, например "sharing".
3. С помощью REST запроса /inject, делаем вставку "sharing" >> "main"
В результате, зритель, который играл поток "main" увидит контент потока "sharing" и обратно.